Correction du sujet : Bac L 1999 Polynésie (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Énoncé

1. a. 1. b. 2. 3. a. 3. b. 4.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• suite géométrique

Jean et Pierre sont deux jumeaux. Jean, qui est fumeur, dépense 3000 F par an pour l’achat de ses cigarettes. Pierre, qui ne fume pas, lui demande d’imaginer les économies qu’il réaliserait s’il plaçait cette somme plutôt que de continuer à fumer.

Il lui propose de déposer tous les ans, le 2 janvier, cette somme de 3000 F sur un compte rémunéré à intérêts composés par la banque, au taux annuel de 3 %. La banque ajoute chaque année, le 31 décembre, les intérêts acquis sur le compte.

Le 2 janvier 1999, il verse 3000 F et les intérêts acquis sont capitalisés le 31 décembre 1999. Tous les ans, le 2 janvier, il verse à nouveau 3000 F.

1. Quelle est la somme disponible sur le livret aux dates suivantes :

1. a. Le 3 janvier 2000 ? (0,5 point)

Le taux annuel étant de 3% , le coefficient multiplicateur annuel est de 1 + 0,03 = 1,03 .

Le 3 janvier 2000, sont disponibles sur le livret :

• les 3000 F qu'il a déposés la veille (2 janvier 2000)
• le capital obtenu par le placement pendant un an des 3000 F déposés le 2 janvier 1999 : 3000 ´ 1,03 = 3090 F

La somme disponible sur le livret le 3 janvier 2000 est donc de 6090 francs.

1. b. Le 3 janvier 2001 ? (0,5 point)

Le 3 janvier 2001, sont disponibles sur le livret :

• les 3 000 F qu'il a déposés la veille (2 janvier 2001)
• le capital obtenu par le placement pendant un an des 6090 F qui s’y trouvaient le 2 janvier 2000 : 6090 ´ 1,03 = 6272,70 F

La somme disponible sur le livret le 3 janvier 2001 est donc de 9272,70 francs.

2. On note u₀ la somme disponible sur le livret le 3 janvier 1999, u₁ la somme disponible sur le livret le 3 janvier 2000, u₂ la somme disponible sur le livret le 3 janvier 2001, u_n la somme disponible sur le livret le 3 janvier de l’année 1999 + n, où n désigne un entier naturel.

Montrer qu’on a la relation u_n+1 = 1,03 u_n + 3000. (1 point)

La somme disponible sur le livret le 3 janvier de l'année 1999 + n + 1 est constituée de :

• la somme qui s’y trouvait le 3 janvier de l’année 1999 + n et qui a été placée pendant 1 an à 3% , soit u_n ´ 1,03 .
• les 3000 francs apportés la veille, le 2 janvier de l'année 1999 + n + 1

donc on a pour tout n entier naturel, u_n+1 = 1,03 u_n + 3000 .

3. Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_n = u_n + 100000.

3. a. Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la premier terme et la raison. (1,5 point)

Pour tout n entier naturel, on a :

v_n+1 = u_n+1 + 100000

v_n+1 = 1,03 u_n + 3000 + 100000

v_n+1 = 1,03 u_n + 103000

v_n+1 = 1,03 u_n + 1,03 ´ 100000

v_n+1 = 1,03 (u_n + 100000)

v_n+1 = 1,03 v_n

donc (v_n) est la suite géométrique de raison 1,03 .

Son premier terme est : v₀ = u₀ + 100000, soit v₀ = 103000 .

3. b. En déduire l’expression de v_n en fonction de n, puis celle de u_n en fonction de n. (1 point)

On déduit de la question précédente que pour tout n entier naturel :

v_n = 103000 ´ (1,03)ⁿ

v_n = 1,03 ´ 100000 ´ (1,03)ⁿ

d’où v_n = 100000 ´ (1,03)ⁿ⁺¹

On a, par définition de la suite (v_n) , pour tout n entier naturel, v_n = u_n + 100000 , d’où :

u_n = v_n –100000

u_n = 100000 ´ (1,03)ⁿ⁺¹ – 100000

d’où u_n = 100000 ´ [(1,03)ⁿ⁺¹ - 1]

4. Pierre affirme qu’en moyenne, un fumeur s’arrête après avoir fumé pendant trente ans.

De quelle somme Jean aurait-il pu disposer le 3 janvier 2029 ? (0,5 point).

Le 3 janvier 2029, trente ans se sont écoulés.

Jean disposerait au bout de 30 ans de u₃₀ francs avec :

u₃₀ = 100 000 ´ [(1,03)³¹ - 1]

u₃₀ = 150 008,03 à 10^-2 près

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