Correction du sujet : Bac L 1999 Maroc (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Énoncé

1. 2.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• exponentielle
• intégration

1. Démontrer que, pour tout nombre réel x : (1 point)

Pour tout x de , e ^x est différent de -1 car strictement positif,

donc e^x + 1 n’est jamais nul,

donc ces expressions sont bien définies car les dénominateurs des fractions ne s’annulent jamais.

On a pour tout x réel :

De même, pour tout x réel :

2. En déduire le calcul des deux intégrales : (4 points)

Calcul de I :

Nous avons, d’après la question précédente :

Pour la première intégrale, on sait qu’une primitive de la fonction qui à x associe e^x est tout simplement la fonction qui à x associe e^x !

Pour la seconde intégrale, définissons la fonction u définie sur R définie par u(x) = e^x + 1 .

Cette fonction est dérivable sur , en tant que somme de fonctions dérivables sur , et on a u’(x) = e^x .

On peut alors remarquer que l’on a :

Or u(x) > 0 car une exponentielle est toujours positive, donc une primitive de la fonction u’/u est la fonction ln(u) , donc :

I = [2 – 1] –[ln(1+2) – ln(1+1)] = 1 – [ln(3) – ln(2)] = 1 – ln(3) + ln(2)

d’où :

Calcul de J :

Nous avons, toujours d’après la question 1. :

d’où :