School Angels

Correction du sujet : Bac L 1999 Antilles - Guyane (Juin 99)

Problème (12 points) SPECIALITE Énoncé

Préliminaire

Partie A : 1. 2. a. 2. b. 3. a. 3. b. 4. 5.

Partie B : 1. 2. 3.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

logarithme népérien
tangente en un point d’une courbe
intégration et calcul d’aire

Préliminaire :

Résoudre dans l’inéquation : ln x < -1/3 . (1 point)

Tout d’abord, déterminons l’ensemble de définition de cette inéquation : la fonction logarithme est définie pour x > 0 ,

donc cette inéquation est définie sur ]0 ; +¥[ .

On a :

ln x < -1/3 ó x < e^-1/3

donc l’ensemble des solutions est ]0 ; e^-1/3[ .

Partie A :

Soit f la fonction définie et dérivable sur [1/e ; +¥[ telle que : f(x) = - x³ ln x .

On appelle (C) sa courbe représentative.

1. Calculer la dérivée de f sur l’intervalle de définition. (1 point)

f est dérivable sur [1/e ; +¥[ , en tant que produit de fonctions dérivables sur [1/e ; +¥[ .

Pour tout réel x de [1/e ; +¥[ , on écrit f sous la forme f = uv et on pose :

u(x) = -x3 d’où u’(x) = -3 x2
v(x) = ln x d’où v’(x) = 1/x

D’après les formules du cours, on peut écrire : f ’ = u’v + uv’ , d’où, pour tout réel x de [1/e ; +¥[ , on a :

d’où :

f ’(x) = -3x² ln x - x²

f ’(x) = -x² (1 + 3ln x )

2. a. Calculer la limite de f en +¥ et la valeur exacte de f(1/e) . (1,5 point)

On a :

lim _x_®₊_¥ -x³ = -¥
lim _x_®₊_¥ ln x = +¥

donc, d’après les théorèmes algébriques de calcul de limites, on a :

lim _x_®₊_¥ f(x) = -¥

f(1/e) = -(1/e)³ ln(1/e)

Or ln(1/e) = -1 , d’où :

f(1/e) = 1/e³

2. b. Étudier le signe de la dérivée (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire). (0,5 point)

Dresser le tableau de variation de f. On donnera la valeur exacte de l’extremum. (1 point)

Pour tout réel x de [1/e ; +¥[ , -x² < 0 ,

donc le signe de f ’(x) est de signe opposé à celui de 1 + 3 ln x .

Or on a :

1 + 3 ln(x) < 0 ó ln(x) < -1/3 ,

ó x Î ]0 ; e^-1/3[ (cf. question préliminaire)

On peut alors en déduire le tableau de signe de f ’(x) :

On en déduit ensuite le tableau de variations de f :

3. A est le point de la courbe représentative de f d’abscisse 1.

3. a. Donner les coordonnées de A. (0,25 point)

L’ordonnée du point A est f (1) = -1 ´ ln 1 = 0 ,

donc A a pour coordonnées (1 ; 0) .

3. b. Donner l’équation de (D), tangente à la courbe en A. (1 point)

D’après les formules du cours, l’équation de (D) , tangente à la courbe représentative de f en A , est :

y = f ’(1) (x - 1) f(1)

On a f ’(1) = -1 et f(1) = 0 ,

d’où (D) y = - x + 1 .

4. Étudier le signe de f (x) sur [1/e ; +¥[ . (1 point)

Pour tout x Î [1/e ; +¥[ , - x³ < 0 ,

donc le signe de f(x) sur [1/e ; +¥[ est le signe opposé de celui de ln(x) , or on a :

ln x > 0 pour x > 1
ln x < 0 pour 1/e < x < 1

On en déduit alors le tableau de signe suivant pour f :

5. Représenter graphiquement sur [1/e ; 1,1 [ la fonction f , le point A et la droite (D). (1,5 point)

Unités : 10 cm pour les abscisses et 50 cm pour les ordonnées.

Partie B :

Pour tout x appartenant à [1/e ; 1] , on définit l’intégrale I et la fonction g par :

1. Que vaut I(1)? (0,25 point)

(car les bornes de l’intégrale sont identiques !)

2. Calculer la dérivée de g. En déduire la valeur exacte de I(1/2) . (1 point ; 1 point)

G est dérivable sur [1/e ; 1] , en tant que somme de produit de fonctions dérivables sur [1/e ; 1] .

Pour tout x de [1/e ; 1] , on écrit g sous la forme g = uv + w , avec :

u(x) = x⁴ d’où u’(x) = 4x³
v(x) = ln x d’où v’(x) = 1/x
w(x) = -x⁴/4 d’où w’(x) = -x³

On a, d’après les théorèmes de dérivation de fonctions, g’ = (u’v + uv’) + w’ , donc :

donc g’(x) = 4x³ ln x

On peut alors calculer I(1/2) , par à partir de g , on voit que l’on peut obtenir une primitive de f (comparez f et g’ !) :

d’où :

3. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 1/2 et x = 1 . On en donnera une valeur, en cm², approchée à 10^-² près. La représenter sur le graphique de la question 5. de la Partie A . (1 point)

f étant positive sur l’intervalle [1/2 ; 1] , l’aire de ce domaine est, en unités d’aire :

Or l’échelle est de :

10 cm pour une unité en abscisse ;
50 cm pour une unité en ordonnée ;

donc 1 unité d’aire = 500 cm² ,

donc :

On a A = 23,88 cm² à 10^-2 près.

On trouvera la représentation graphique A sur le graphique de la question A. 5. .