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Correction du sujet : Bac L 1999 Antilles - Guyane (Juin 99)

Exercice 1 (4 points) SPECIALITE Énoncé

Partie A : 1. 2.

Partie B : 1. 2. a. 2. b.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

probabilités
variable aléatoire et loi de probabilité
espérance mathématique

Une usine a fabriqué 25 pièces indiscernables, dont 3 présentent un défaut.

Partie A :

On choisit au hasard une pièce parmi les 25 pièces fabriquées.

1. Calculer la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse. (1 point)

Sur les 25 pièces fabriquées, 3 présentent un défaut, donc 22 ne sont pas défectueuses,

donc la probabilité que la pièce tirée au hasard ne soit pas défectueuse est égale à 22/25 .

2. Une personne a besoin de 7 pièces non défectueuses.

Combien doit-elle acheter de pièces au minimum pour être certaine de les avoir ? (0,5 point)

Cette personne a besoin de 7 pièces non défectueuses. Or trois pièces produites par l’usine présentent un défaut.

Il faut donc prendre 7 + 3 = 10 pièces au minimum pour être certaine d’avoir 7 pièces non défectueuses.

Partie B :

On choisit simultanément 2 pièces au hasard parmi les 25 pièces fabriquées. (On suppose que tous les tirages de 2 pièces sont équiprobables.)

1. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 pièces sans défaut ? (1 point)

Les tirages de deux pièces étant équiprobables, le nombre de tirages distincts est :

et le nombre de tirages donnant deux pièces sans défaut est : (il y a 25 – 3 = 22 pièces sans défaut)

donc la probabilité d'obtenir 2 pièces sans défaut est :

donc la probabilité d’obtenir deux pièces sans défaut est égale à 77/100 .

2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de 2 pièces, associe le nombre de pièces présentant un défaut.

2. a. Donner la loi de probabilité de X, sous forme de tableau. (1 point)

L’ensemble des valeurs prises par X est {0 ; 1 ; 2} , car à chaque tirage, on peut avoir soit aucune pièce défectueuse, soit 1 pièce défectueuse, soit 2 pièces défectueuses.

X = 0 si on ne tire aucune pièce défectueuse,

donc, par le résultat obtenu à la question B. 1. , on peut écrire : p(X=0) = p

donc p(X=0) = 77/100 .

· X = 1 si on tire une pièce sans défaut et une pièce défectueuse, donc :

· X = 2 si on tire deux pièces défectueuses, donc :

La loi de probabilité de X est donc :

x_i	0	1	2
p(X = x_i)	0,77	0,22	0,01

2. b. Calculer l'espérance mathématique de X. (0,5 point). On donnera les résultats sous forme décimale.

L’espérance mathématique de X s’écrit :

E(X) = 0 ´ p(X=0) + 1 ´ p(X=1) + 2 ´ p(X=2)

E(X) = 0 + 0,22 + 0,02

E(X) = 0,24

L’espérance mathématique de X est donc égale à 0,24 .