Bac ES 1999 Paris (National) (Juin 99)

Problème (9 points) Corrigé

On a tracé dans un repère orthonormal (O , i , j ) la courbe représentative (C) de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 4] par :

Dans tout le problème, on donnera les résultats arrondis à 10^-3.

Partie A : Étude théorique liée à la fonction f

1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 4]. (1,5 point)

1. b. Étudier la limite de f en 0. (0,5 point)

1. c. Donner le tableau de variation de f. (0,5 point)

2. Soit (Z) la partie du plan délimitée par la courbe (C) et les droites d’équations : y = 1/2 , x = 1 et x = 3.

2. a. Justifier que l’on a f(x) ³ 1/2 sur ]0 ; 4] et exprimer à l’aide d’une intégrale (que l’on n’essaiera pas de calculer dans cette question) l’aire A_z, en unités d’aire, de la partie (Z) du plan. (1,5 point)

2. b. Soit g la fonction définie sur ]0 ; 4] par g(x) = x ln x - x . Calculer g’(x) . (1 point)

2. c. En déduire la valeur exacte de l’aire A_z en unités d’aire. (1 point)

Partie B : Probabilité et jeu

Au cours de l’élaboration d’une phase d’un jeu vidéo inspiré du golf, on cherche à évaluer la probabilité de gagner. L’écran est le carré AOFB.

Les sommets du carré ont pour coordonnées :

A(0 ; 4) O(0 ; 0) F(4 ; 0) B(4 ; 4) .

La courbe (C) partage l’écran en deux parties :

• la partie de l’écran située strictement au-dessus de la courbe représente une mare et elle est notée (M) ;
• la partie de l’écran située au-dessous de la courbe représente le terrain de jeu et elle est notée (T).

La partie (Z) définie au paragraphe A est donc incluse dans (T).

1. Dans cette question, le jeu consiste à simuler le lancer d’une balle.

On admet que la probabilité d’atteindre une partie de l’écran est donnée par :

Cette probabilité est indépendante de l’unité graphique choisie.

Déterminer, par le calcul, la probabilité que la balle atteigne la zone (Z) . (1 point)

2. Dans cette question le jeu consiste à simuler trois lancers successifs et indépendants ; on admet que, pour chaque lancer, la probabilité d’atteindre (Z) est de 0,044. On gagne lorsque deux au moins des trois balles lancées ont atteint la partie (Z).

Calculer la probabilité de gagner. (2 points)

On pourra s’aider d’un arbre et on fera figurer le détail des calculs sur la copie.

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