Bac ES 1999 Paris (National) (Juin 99)

Exercice 1 (6 points) Corrigé

Le tableau suivant donne l’indice mensuel des dépenses d’assurance maladie d’août 94 à juin 95 (tendances observées à fin juillet 1995 - base 100 janvier 1990).

Mois	Août 94	Oct 94	Déc 94	Fév 95	Avril 95	Juin 95
Rang du mois x_i	1	3	5	7	9	11
Indice y_i	123,4	125,9	127,5	127,9	129	131,4

(Source : Département statistique de la Caisse Nationale de l’Assurance Maladie des Travailleurs Salariés).

Pour tout l’exercice, les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés. Les résultats seront arrondis avec deux chiffres après la virgule.

On a représenté sur le document 1 de l’annexe ci-jointe le nuage de points M_i(x_i ; y_i) associé à la série statistique dans un repère orthogonal. G désigne le point moyen du nuage. On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points.

1. Déterminer les coordonnées du point G et placer ce point sur le graphique. (0,75 point)

2. Le modèle étudié dans cette question sera appelé “ droite de Mayer ”.

2. a. G₁ désigne le point moyen des trois premiers points du nuage et G₂ celui des trois derniers points. Déterminer les coordonnées de G₁et de G₂. (0,5 point)

2. b. Déterminer l’équation réduite de la droite (G₁G₂) sous la forme y = Ax + B. (1 point)

2. c. Tracer la droite (G₁ G₂) sur le graphique précédent. (0,5 point)

2. d. En utilisant la calculatrice, déterminer la somme des résidus pour cet ajustement affine : (1,5 point)

3. Le deuxième modèle proposé est celui des moindres carrés.

La calculatrice donne :

l’équation de la droite (D) d’ajustement de y en x : y = 0,71 x + 123,26.
la somme des résidus pour cet ajustement S₂ » 1,7 (arrondie avec un chiffre après la virgule).

3. a. Des droites (D) et (G₁ G₂), quelle est celle qui réalise le meilleur ajustement affine ? Justifier. (0,5 point)

3. b. Tracer (D) sur le graphique précédent. (0,25 point)

4. a. Quels sont les indices mensuels que l’on pouvait prévoir en utilisant l’ajustement affine par la méthode des moindres carrés (question 3.) pour les mois cités dans le tableau ci-dessous ? (0,5 point)

4. b. Recopier le tableau ci-dessous et le compléter. (0,25 point)

Mois	Nov 95	Déc 95	Jan 96
Indices prévisionnels calculés par l’ajustement affine des moindres carrés
Tendances réellement observées	134,3	133,4	133,5

4. c. Quel commentaire peut-on faire ? (0,25 point)

Annexe

Document 1 à compléter et à rendre avec la copie