School Angels

Bac ES 1999 Amérique du Nord (Juin 99)

Problème (10 points) Corrigé

Une entreprise envisage la fabrication d’un nouveau produit. Sa décision dépend des résultats de plusieurs études :

Étude de la demande pour ce nouveau produit : c’est l’objet de la partie A.
Étude d’un coût moyen de production : c’est l’objet de la partie B.

Une étude a permis d’établir le tableau suivant où, pour différentes observations, x_i désigne la quantité de produit (en milliers d’unités) que la clientèle est disposée à acheter, et y_i le prix de vente (en francs) d’une unité :

x_i	1,5	3	5	8	11	12
y_i	120	110	100	90	80	70

Ainsi, pour que la clientèle soit disposée à acheter 5000 unités, le prix de vente d’une unité doit être fixé à 100 F .

1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique. (0,5 point)

Prendre 1 cm pour 1 millier d’unités en abscisse, et 1 cm pour 10 francs en ordonnée.

Dans les questions suivantes, le détail des calculs statistiques n’est pas demandé ; les résultats seront donnés à 10^-2 près.

2. Donner le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. (1 point)

Un ajustement affine est-il approprié ? Justifier la réponse. (0,5 point)

3. a. Donner une équation de la droite d’ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. (1 point)

3. b. D’après ce modèle, comment faut-il fixer le prix de vente d’une unité si l’on veut pouvoir vendre un minimum de 6500 unités ? (1 point)

4. On admet que le prix de vente d’une unité, noté PV, est une fonction de la demande x (en milliers d’unités) définie, pour x Î [2 ; 15], par : PV (x) = - 4,33 x + 124,2.

Représenter la fonction PV dans le repère utilisé dans la question 1. (0,5 point)

Partie B

Le coût total de production (en francs) de x milliers d’unités est, pour x [2 ; 15] :

CT(x) = 10⁵ [x + 4 - 3 ln (x)]

et le coût moyen de production d’une unité est, pour x [2 ; 15] :

1. On note CM’ la dérivée de la fonction CM.

Calculer CM’(x) et démontrer que CM'(x) a le même signe que ln(x) - 7/3 , pour tout x [2 ; 15] . (1,5 point)

2. Résoudre sur l’intervalle ]0 ; + [ l’inéquation ln(x) - 7/3 ³ 0 . (1 point)

3. a. Étudier les variations de CM sur l’intervalle [2 ; 15]. (1 point)

3. b. Tracer la représentation graphique de CM dans le repère utilisé dans la Partie A . (1 point)

3. c. À l’aide du graphique, déterminer l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles l’entreprise peut faire un bénéfice. (On donnera la réponse sous forme d’un intervalle dont les bornes sont des entiers.) (1 point)