Bac ES 1999 Antilles - Guyane (Juin 99)
Problème (11 points) Corrigé
Le but du problème est l’étude d’une fonction et le
calcul d’une aire liée à cette fonction.
La courbe (G) ci-jointe est la représentation graphique
dans un repère orthonormal d’une fonction g définie et dérivable sur. ]0 ;
+¥[
Les points A
(1 ; 3/2) et B (e ; e2/2)
appartiennent à la courbe (G) et la tangente en A à (G) est parallèle à l’axe des
abscisses.
1. Déterminer g(1) , g(e) et g’(1). (1
point)
2. Déterminer les réels a et b, sachant que la
fonction g est définie sur ]0 ; +¥ [ par une expression de la forme : (0,75
point)
3. Sachant que g(x) = x2/2 + 1 - ln x , retrouver au moyen d’un calcul, le sens de
variation de g . (Le calcul des limites n’est pas demandé.)
En utilisant ce dernier résultat, étudier le signe de
g sur ]0 ; +¥ [ . (1,25 point)
On
considère la fonction f définie sur ]0 ; +¥[ par :
1. Calculer les limites de f en 0 et en +¥ . (1 point)
(On admet le résultat suivant : lim x®+¥ (ln x)/x = 0 )
2. Calculer la dérivée f ' de f . (0,5
point)
Vérifier que
f '(x) = g(x)/x2 pour
tout réel positif x . (0,5 point)
En déduire les variations de f . (0,5
point)
3. Montrer que la représentation graphique (C) de f
dans un repère orthonormal admet deux asymptotes que l’on précisera. (1
point)
La courbe (C) de f est donnée en annexe dans un
repère orthonormal (O ; i , j ), unité 2 cm sur chaque axe.
4. On admet l’existence d’un réel a unique, appartenant à [1/2
; 1] tel que f(a) = 0 .
Que représente a pour la courbe (C) ?
Placer sur la courbe (C) le point I d’abscisse a .
Montrer que
ln a = -a2/2 . En déduire que f ’(a) = (1+a²)/a² . (1,5
point)
Partie C
1. Calculer la dérivée de la fonction h définie sur
]0 ; +¥[ par
h(x) = (ln x)² . (0,5
point)
2. En déduire le calcul de J : (1
point)
3. Hachurer sur le graphique donné ci-dessous le
domaine plan limité par (C), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.
Déterminer l’aire, en cm2, de ce domaine. (1,5 point)