Correction du sujet : Bac ES 1999 Polynésie (Juin 99)

Exercice 2 (4 points) SPECIALITE Énoncé

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

probabilités
arbre pondéré

Pour financer ses études, une étudiante fait du démarchage par téléphone pour vendre un produit qui lui rapporte 20 francs. Elle ne peut vendre qu’un produit par appel.

Lorsqu’elle compose un numéro de téléphone, trois possibilités se présentent :

· l’événement A “ Personne ne répond ” de probabilité p(A) égale à 0,3 ;

· l’événement B “ Le répondeur téléphonique diffuse un message ” avec une probabilité p(B) égale à 0,1 ;

· l’événement C “ Un correspondant répond ” de probabilité p(C) égale à 0,6.

1. La probabilité que l’étudiante vende son produit sachant qu’un correspondant répond à son appel est égale à 0,4.

Les probabilités qu’elle vende son produit dans les autres cas sont nulles.

Vérifier que la probabilité que l’étudiante réalise une vente lors d’un appel téléphonique fait au hasard est égale à 0,24. (0,75 point)

On désigne par V l’événement “ l’étudiante vend son produit. ” .

Celle-ci ne pourra vendre son produit que si un correspondant répond.

donc la probabilité que l’étudiante réalise une vente s’écrit p(CÇV) , avec :

p(CÇV) = p(V/C) p(C)

Or, par hypothèse de l’énoncé, p(C) = 0,6 et la probabilité que l’étudiante vende son produit sachant qu’un correspondant répond à son appel est égale à 0,4 ,

donc p(V/C) = 0,4 ,

d’où p(CÇV) = 0,4 ´ 0,6 .

donc la probabilité que l’étudiante réalise une vente est égale à 0,24 .

Arbre pondéré :

2. Lorsque personne ne répond à son appel téléphonique, l’étudiante débourse 0 franc.

Lorsqu’un répondeur téléphonique diffuse un message, l’étudiante débourse 1 franc.

Lorsqu’un correspondant répond, l’appel coûte 1 franc et dans ce cas :

· si l’étudiante vend son produit, qui lui rapporte 20 francs, elle aura donc fait un gain de + 19 francs ;

· si elle ne vend pas son produit, elle aura perdu 1 franc.

On considère la variable aléatoire X correspondant au gain algébrique possible lors d’un appel téléphonique de l’étudiante.

2. a. Démontrer que la probabilité que le gain algébrique soit égal à -1 est 0,46. (1 point)

X vaut -1 si :

un répondeur téléphonique diffuse un message (événement B) ;

OU

un correspondant répond et l’étudiante ne vend pas son produit (événement C Ç ) .

Or les évènements B et C Ç sont incompatibles, donc :

p(X = -1) = p(B) + p(C Ç )

p(X = -1) = p(B) + p(/C) p(C)

p(X = -1) = 0,1 + 0,6 ´ 0,6

d’où p(X = -1) = 0,46 .

donc la probabilité que l’étudiante perde 1 franc est égale à 0,46.

2. b. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. (1 point)

X peut prendre les valeurs –1 , 0 et 19 .

On a X = 0 si personne ne répond à l’appel, d’où :

p(X=0) = p(A)

d’où p(X=0) = 0,3 .

On a X = 19 si l’étudiante réalise une vente, c’est-à-dire si on réalise l’événement C Ç V , d’où :

p(X=19) = p(C Ç V)

D’après le résultat de la question 1. , on a p(C Ç V) = 0,24 , d’où :

p(X=19) = 0,24 .

On peut alors dresser la loi de probabilité de X :

x_i	-1	0	19
p(X = x_i)	0,46	0,3	0,24

Remarque :

On peut vérifier notre résultat en constatant que 0,46 + 0,3 + 0,24 = 1 !

2. c. Calculer l’espérance mathématique de X. (0,25 point)

L’espérance mathématique de X s’écrit :

E(X) = -1 ´ p(X=1) + 0 ´ p(X=0) + 19 ´ p(X=19)

E(X) = -1 ´ 0,46 + 0 ´ 0,3 + 19 ´ 0,24

E(X) = 4,1 .

donc l’étudiante peut espérer gagner 4,10 francs par appel téléphonique.

3. On suppose que l’étudiante compose successivement de manière indépendante cinq numéros de téléphone au hasard.

Déterminer la probabilité qu’elle réalise exactement trois ventes. (1 point)

On se trouve dans le cas d’une variable aléatoire Y de loi binomiale B(5 ; 0,24) (schéma de Bernoulli) , d’où pour tout k appartenant à { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }, on a :

donc, dans le cas où l’étudiante réalise exactement trois ventes, on a :

d’où p(Y=3) = 0,8 à 10^-2 près.

donc la probabilité que l’étudiante réalise trois ventes est égale à 0,08 à 10^-2 près.