Correction du sujet :      Bac ES 1999  Paris (National)  (Juin 99)

            Exercice 2  (5 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

1. a.     1. b.     1. c.     1. d.     2. a.     2. b.     2. c.     2. d.     2. e.     3.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

L’espace est muni d’un repère orthonormal  (O ; i , j , k) représenté sur le document de l’annexe ci-jointe. Le plan (R) est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées ; il a pour équation :  x + z = 2 .

 

1. On donne les points A, B, C définis par leurs coordonnées respectives :

A (6;0;0) , B (0;3;0)  et  C (0;0;6) .

 

1. a. Placer les points A, B, C dans le repère  (O; i , j , k ) et tracer le triangle ABC. (0,25 point)

 

 

 

1. b. Calculer les coordonnées des vecteurs  et  . (0,5 point)

 

On a :

           

 

 

 

1. c. Soit  le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1). Montrer que le vecteur  est normal au plan (P) passant par A, B et C. (0,5 point)

 

Il n’existe pas de réel k tel que  = k  ,

donc les vecteurs  et  ne sont pas colinéaires.

 

Ces deux vecteurs étant défini à partir des points A, B et C , ils appartiennent au plan (P) qui passe par A, B et C.

 

D’autre part, on a :

 

donc  est orthogonal à deux vecteurs (  et  )  non colinéaires du plan (P) ,

 

donc  est un vecteur normal au plan (P) .

 

 

1. d. Vérifier que le plan (P) a pour équation  x + 2y + z = 6 . (0,25 point)

 

Deux méthodes sont possibles.

 

Première méthode : (la plus belle, d’un point de vue mathématique)

 

Les coordonnées de  sont (1,2,1) et le plan (P) st orthogonal à  ,

donc, d’après le cours, une équation cartésienne du plan (P) est     x + 2y + z + d = 0 .

 

Or A (6 ; 0 ; 0) est un point de (P) donc :    6 + 0 + 0 + d = 0  d’où   d = - 6 .

 

donc une équation du plan (P) est :  x + 2y + z = 6 .

 

Deuxième méthode :

 

x + 2y + z = 6  est une équation de plan. Il s’agit de l’équation du plan P si et seulement si trois points non alignés du plan vérifient cette équation.

 

Les vecteurs  et  étant non colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés :

 

donc les points A, B et C vérifient l’équation donnée,

 

donc l’équation   x + 2y + z = 6  est une équation du plan (P).

 

 

2. On a placé dans le repère les points G, E et F à coordonnées entières.

Le point G est situé sur l’axe (O; j ) , le point E dans le plan (O; i , j ) et le point F dans le plan (O ; i , k ) .

Le plan (Q) passant par les points G, E et F est parallèle au plan  (O; i , k ).

 

2. a. Donner l’équation du plan (Q). (0,25 point)

 

Le plan (Q) étant parallèle au plan (O ; i , k ) , le vecteur j est un vecteur normal au plan (Q) ,

 

donc une équation cartésienne de (Q) est :  y + d’ = 0 .

 

Or le point G (0,2,0) appartient à (Q) ,

 

donc il vérifie l’équation du plan (Q) ,  d’où  2 + d’ = 0  ,

 

d’où :    d’ = - 2 ,

 

donc une équation du plan (Q) est alors : y = 2 .

 

 

2. b. Donner les coordonnées des points G, E et F. (0,75 point)

 

Par lecture graphique, on a immédiatement :

 

G (0,2,0)     E (2,2,0)     F (0,2,2)

 

 

2. c. Parmi les points E, F et G, quels sont ceux situés dans le plan (P) ? (0,75 point)

 

Pour qu’un de ces points appartiennent au plan (P), il faut que ses coordonnées vérifient l’équation de ce plan. On a :

 

donc E et F appartiennent au plan (P) et G n’y appartient pas.

 

 

2. d. Quelle est la nature de l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système :  (0,75 point)

 

 

Tout point M de coordonnées (x ; y ; z) vérifiant ce système appartient à l’intersection des plans (Q) et (P) qui ne sont pas parallèles,

 

donc l’ensemble des points (M) vérifiant ce système est une droite.

 

Or on sait que les points E et F appartiennent aux plans (P) et (Q) ,

 

donc l’intersection de ces deux plans est la droite (EF) ,

 

donc l’ensemble des points (M) vérifiant ce système est la droite (EF).

 

 

2. e. Représenter cet ensemble sur l’annexe ci-jointe. (0,25 point)

 

 

 

3. On considère le système S de 3 équations à 3 inconnues x, y, z :

 

Quel est l’ensemble des points dont les coordonnées sont les solutions du système S ? (0,75 point)

 

Ce système regroupe les équations des plans (P) , (Q) et (R) ,

 

donc l’ensemble des solutions est l’intersection de ces trois plans.

 

Or (P) et (Q) se coupent selon la droite (EF) ,

 

donc l’ensemble solutions est l’intersection du plan (R) et de la droite (EF) .

 

Or les points E et F appartiennent au plan (R) ,

 

donc l’intersection du plan (R) avec la droite (EF) est la droite (EF) ,

 

donc l’ensemble des points dont les coordonnées sont les solutions du système S est la droite (ER) .

 

 

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