Correction du sujet : Bac ES 1999 Asie (Juin 99)

Problème (10 points) Énoncé

Partie A : 1. 2. 3.

Partie B : 1. 2. a. 2. b.

Partie C : 1. 2. 3.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

· solution d’une équation du type f (x) = 0

· primitives

Partie A

Soit f la fonction définie sur [0 ; 50] par :

La dérivée f ’(x) est égale à :

La courbe (C) de f est donnée en annexe.

1. Étudier le signe de f ’(x) sur l’intervalle [0 ; 50]. (1 point)

Pour tout réel x de [0 ; 50] , les expressions (2x) , (x-4) et (x+1)² sont positives, donc le signe de f ’(x) est celui de (x-4) . On a alors le tableau de signe suivant pour f ‘(x) :

2. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 50]. On admet que f(x) s’annule pour une seule valeur a de l’intervalle ]0 ; 50[ ; en déduire le signe de f (x) sur l’intervalle [0 ; 50]. (1,5 point).

On déduit immédiatement du tableau de signe de f ’ les variations de f :

• f est décroissante sur [0 ; 4] ;
• f est croissante sur [4 ; 50].

On peut alors construire le tableau de variations de f :

On a :

• f(0) = -50 < 0
• f(4) = 6 – 50 ln 5 » - 74,5 < 0
• f(50) = 127450 – 50ln(51) » 127453,4 > 0

donc, d’après les variations de f , il existe un unique réel a appartenant à ]4 ; +¥[ tel que f(a) = 0 .

On en déduit le signe f(x) :

3. Donner un encadrement de a par deux entiers consécutifs. (0,5 point)

Pour la suite du problème, on prendra pour a la plus petite de ces deux valeurs.

On a :

• f(11) = - 7,4 à 10-1 près ;
• f (12) » 11,9 à 10-1 près ;

donc on a 11 < a < 12 .

Pour la suite du problème, on prendra donc a = 11 .

Partie B

Une entreprise fabrique une quantité x, exprimée en kilogrammes, d’un certain produit.

Le coût marginal C, exprimé en euros, est défini sur [0 ; 50] par :

1. La fonction coût total, notée C_T, est la primitive de la fonction C sur [0 ; 50] qui prend la valeur 50 pour x = 0.

Vérifier que C_T(x) = x² + 50 ln (x+1) + 50 . (1,5 point)

On a :

donc une primitive de C sur [0 ; 50] est la fonction P définie par : P(x) = x² + 50 ln(x+1) + k .

Comme on a P(0) = k , on peut alors écrire que k = 50 .

On en déduit que la fonction C_T , primitive de la fonction C sur [0 ; 50] qui prend la valeur 50 pour x = 0 est définie par :

C_T(x) = x² + 50 ln (x+1) + 50

2. Le coût moyen est la fonction C_m définie par :

2. a. Donner une expression de C_m(x) en fonction de x. (0,5 point)

Pour tout x de ]0 ; 50] , on a :

2. b. Vérifier que la dérivée de C_m peut se mettre sous la forme : (1 point)

On sait que C_m(x) s’écrit sous la forme C_m(x) = CT(x) / x .

Or :

• la fonction CT(x) est dérivable sur ]0 ; 50]
• la fonction qui à x associe x ne s’annule pas sur ]0 ; 50] et est dérivable sur cet intervalle

donc, d’après le théorème de dérivation d’un quotient de fonctions, on a :

donc on a bien, pour tout x de ]0 ; 50] :

Partie C :

1. Déduire des résultats précédents le tableau de variation de la fonction C_m sur ]0 ; 50]. (1,5 point)

Comme x² est toujours positif sur ]0 ; 50], d’après le résultat de la question précédente, le signe de C_m’(x) est celui de f (x) , que l’on avait déjà étudié à la question A. 2. .

On en déduit que :

• C_m’(x) < 0 sur ]0 ; 11[
• C_m’(x) > 0 sur ]11 ; 50]

donc

• C_m est décroissante sur ]0 ; 11[
• C_m est croissante sur ]11 ; 50]

d’où le tableau de variation de C_m sur ]0 ; 50] :

avec C_m(50) = 51 + ln(51) .

2. Tracer dans un repère orthonormal (O ; i , j) la courbe représentative de C_m sur [1 ; 50]. (1 point)

3. Quelle est la production donnant le coût moyen minimal ? (0,5 point)

Calculer alors le coût total et le coût marginal correspondant au coût moyen minimal. (0,5 point ; 0,5 point)

D’après le tableau de variations de f , le coût moyen est minimal lorsque l’entreprise fabrique a kilogrammes, soit 11 kilogrammes.

On alors un coût total égal à

C_T(11) = 121 + 50 ln 12 + 50 = 171 + 50 ln 12 .

C_T(11) = 295 euros à 1 euros près.

On a alors un coût marginal de

C(11) = 26 euros à 1 euros près.

copyright © School Angels 2000