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Correction du sujet : Bac ES 1999 Asie (Juin 99)

Exercice 1 (4 points) Énoncé

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

statistiques
coefficient de corrélation linéaire
ajustement affine

Le tableau suivant recense par clinique le nombre de postes du personnel non médical en fonction du nombre de lits de la clinique :

Clinique	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	C₉	C₁₀	C₁₁
Nombre de lits x_i	122	177	77	135	109	88	185	128	120	146	100
Nombre de postes y_i	205	249	114	178	127	122	242	170	164	188	172

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i ; y_i) dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : 1 cm pour 20 lits en abscisse et 1 cm pour 50 postes en ordonnée. (1 point)

2. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. (0,5 point)

Le coefficient de corrélation linéaire se calcule à l’aide de la formule :

Avec :

On a alors :

d’où :

Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique {( x_i ; y_i)} est égal à 0,915 à 10 ^-3 près.

L’ajustement affine est justifié puisque r est très proche de –1 .

3. Donner une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés (les détails des calculs ne sont pas demandés). (0,75 point)

Pour les coefficients, on prendra les valeurs décimales arrondies à 10^-1 près.

Tracer cette droite dans le repère précédent. (0,5 point)

Une équation de la droite d’ajustement de y en x , obtenue par la méthode des moindres carrés est y = a x + b , avec :

On a alors :

Une équation de la droite d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est donc :

y = 1,2 x + 22,7 .

4. Une clinique possède 35 lits.

4. a. En utilisant les résultats obtenus en 3. , combien devrait-elle embaucher de personnel occupant un poste non médical à temps plein ? (0,5 point)

Si x = 35 , alors d’après la question précédente, y = 1,2 35 + 22,7 = 64,7 .

Donc si la clinique possède 35 lits, le nombre de personnes occupant un poste non médical à temps plein devrait être de 65 personnes.

4. b. En réalité, cette clinique dispose de 60 postes.

Calculer la différence entre le nombre de postes réels et le nombre de postes théoriques obtenu précédemment.

Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la situation théorique ? (0,75 point)

On a : 65 - 60 = 5 ,

donc la différence entre le nombre de postes théoriques et le nombre de postes réels est 5 .

On cherche le pourcentage x que représente cette différence ; x vérifie :

donc la différence représente 7,7 % des postes théoriques.