Correction du sujet : Bac ES 1999 Amérique du Nord (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) Énoncé

1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. 2. c. 3.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

· lecture graphique

· tangente à une courbe

· intégration

On donne, dans un repère orthonormal ( O ; i , j) du plan, la courbe représentative (G) d’une fonction f, définie et dérivable sur [0 ; 6].

Les points A(1/2 ; 2) , B(4 ; 1/4) et C(2 ; 1) sont des points de (G), et (T) est la tangente à (G) en C.

1. a. Déterminer par lecture graphique le minimum et le maximum de f sur [0 ; 6]. (0,5 point)

Par lecture graphique, on lit que le point de la courbe (G) qui a la plus grande ordonnée est le point de coordonnées (0 ; 5/2) ,

donc le maximum de f sur [0 ; 6] est 2,5 .

De même, on lit que le point de la courbe (G) qui a la plus petite ordonnée est le point de coordonnées (5 ; 0) ,

donc le minimum de f sur [0 ; 6] est 0 .

1. b. Déterminer par lecture graphique l’image par f de l’intervalle [0 ; 2]. (0,5 point)

Les points de la courbe (G) tels que 0 £ x £ 2 ont une ordonnée comprise entre 1 et 5/2 ,

donc l’image par f de l’intervalle [0 ; 2] est [1 ; 2,5] .

1. c. En utilisant le graphique, donner l’ensemble des solutions de l’inéquation : f(x) < 1/2 . (0,5 point)

L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 1/2 est constitué des abscisses des points de (G) situés en dessous de la droite d’équation y = 1/2 ,

donc l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 1/2 est ] 3,25 ; 6 [. 

2. a. On admet que (T) est parallèle à (AB). Déterminer alors f '(2) . (0,75 point)

On sait que le coefficient directeur de la tangente à une courbe est égale à la valeur que prend la dérivée au point de tangence. Pour connaître f ’(2) , il suffit alors de connaître le coefficient directeur de la tangente (T) (qui est tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x = 2) .

Or, par hypothèse, on sait que (T) est parallèle à (AB) ,

donc ces deux droites ont le même coefficient directeur.

Calculons le coefficient directeur m de (AB) .

Par lecture graphique, les coordonnées de A et B sont  A (1/2 ; 2) et B (4 ; 1/4) .

On a alors :

On déduit immédiatement de ce qui précède que le coefficient directeur de (T) vaut -1/2 ,

donc f ’(2) = -1/2 .

2. b. Déterminer l’équation réduite de (T), puis celle de (AB). (1 point)

Pour l’équation réduite de (T) , deux méthodes sont possibles.

Première méthode :

(T) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x = 2 ,

donc, par le cours, l’équation de (T) s’écrit :

(T) : y = f ’(2) [x - 2] + f(2)

Par la question précédente, on sait que f ’(2) = -1/2 et par lecture graphique (point C) , on lit que f(2) = 1 , d’où :

(T) : y = -(1/2) [x - 2] + 1

(T) : y = -(1/2) x + 2

Deuxième méthode :

Par la question précédente, on sait que le coefficient directeur de (T) vaut 1/2 ,

Donc l’équation réduite de (T) s’écrit :

y = -(1/2) x + b

Or on sait, par une lecture graphique, que (T) passe par C (2 ; 1),

donc les coordonnées de C vérifient l’équation de (T) , d’où :

1 = -(1/2) ´ 2 + b

ó 1 = -1 + b

ó b = 2

d’où :

(T) : y = -(1/2) x + 2

Calculons maintenant l’équation réduite de (AB).

Comme le coefficient directeur de la droite (AB) vaut –(1/2) , l’équation réduite de (AB) s’écrit :

y = -(1/2) x + b’

La droite (AB) passe par le point A (1/2 ; 2) , dont les coordonnées vérifient l’équation de (AB) :

2 = -(1/2) (1/2) + b’

ó b’ = 9/4

L’équation réduite de (AB) est donc : y = -(1/2) x + 9/4 .

2. c. Justifier à l’aide du graphique que, pour tout x de [1/2 ; 4] , on a : (0,5 point)

Par lecture graphique, on constate que, sur l’intervalle [1/2 ; 4] , la courbe (G) est située entre les droites (T) et (AB) ,

donc, pour tout x de [1/2 ; 4], on a :

3. On pose :

Déduire du résultat précédent 2. c. que l’intégrale I est comprise entre 49/16 et 63/16 . (1,25 point)

Par la question précédente, on sait que pour tout x de [1/2 ; 4] , on a :

Or l’intégration conserve les relations d’ordre, donc on peut en déduire, en intégrant sur [1/2 ; 4] :

On a :

On obtient alors l’encadrement suivant :

copyright © School Angels 2000